벌크 모듈러스란? – 정의 및 공식

벌크 모듈러스란?

물질의 벌크 모듈러스(K 또는 B)는 해당 물질이 압축에 얼마나 저항하는지 측정합니다. 이것은 부피의 상대적인 감소에 대한 극미한 압력 증가의 비율로 정의됩니다.

다른 계수는 다른 종류의 응력에 대한 재료의 응답(변형률)을 설명합니다. 전단 계수는 전단 응력에 대한 응답을 설명하고 영 계수는 수직 응력에 대한 응답을 설명합니다.

유체의 경우 벌크 계수만 의미가 있습니다. 나무나 종이와 같은 복잡한 이방성 고체의 경우 이 세 가지 계수는 그 거동을 설명하기에 충분한 정보를 포함하지 않으며 전체 일반화된 Hooke의 법칙을 사용해야 합니다. 고정된 온도에서 벌크 모듈러스의 역수를 등온 압축률이라고 합니다.

 

 

벌크 계수의 도입

부피 계수는 모든 표면에 압력을 가할 때 고체 또는 유체의 탄성 특성을 설명하는 수치 상수입니다. 가해진 압력은 재료의 부피를 줄이고 압력이 제거되면 원래 부피로 돌아갑니다.

비압축성이라고도 하는 벌크 모듈러스는 모든 면에서 압축 상태일 때 부피 변화를 견딜 수 있는 물질의 능력을 측정한 것입니다. 적용된 압력을 상대 변형으로 나눈 몫과 같습니다.

이 경우 일반적으로 변형이라고 하는 상대 변형은 부피 변화를 원래 부피로 나눈 것입니다. 따라서 재료의 원래 부피 Vo가 인가된 압력 p에 의해 새로운 부피 Vn으로 감소하면 변형률은 부피 변화 Vo - Vn을 원래 부피로 나눈 값 또는 (Vo - Vn) /보. 정의에 따라 압력을 변형률로 나눈 벌크 계수 자체는 수학적으로 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

부피 계수가 일정할 때(압력과 무관) 이것은 Hooke의 탄성 법칙의 특정 형태입니다.

분모인 변형률은 치수가 없는 비율이므로 벌크 계수의 치수는 단위 면적당 힘인 압력의 치수입니다. 영어 시스템에서 벌크 모듈러스는 평방 인치당 파운드(일반적으로 psi로 약칭) 단위로 표시될 수 있으며 미터법 시스템에서는 평방 미터당 뉴턴(N/m2) 또는 파스칼로 표시될 수 있습니다.

강철의 벌크 모듈러스 값은 약 2.3 × 107psi 또는 1.6 × 1011파스칼로 유리 값의 3배입니다. 따라서 동일한 초기 크기의 강철 구와 동일한 양으로 유리 구를 줄이는 데 압력의 1/3만 필요합니다. 동일한 압력에서 유리 부피의 비례 감소는 강철 부피의 3배입니다.

유리는 강철보다 압축성이 3배 더 높다고 말할 수도 있습니다. 사실, 압축성은 벌크 모듈러스의 역수로 정의됩니다. 압축하기 어려운 물질은 부피 계수는 크지만 압축률은 작습니다. 압축하기 쉬운 물질은 압축률은 높지만 부피 계수는 낮습니다.

 

유체 부피 계수(K) 값 표

고체(예: 강철의 경우 160GPa, 다이아몬드의 경우 443GPa, 고체 헬륨의 경우 50MPa) 및 기체(예: 일정한 온도에서 공기의 경우 101kPa)에 대한 벌크 모듈러스 값이 있지만 가장 일반적인 표에는 액체에 대한 값이 나열되어 있습니다.

 

다음은 영국식 및 미터법 단위의 대표적인 값입니다.

Name	English Units (105 PSI)	SI Units (109 Pa)
Acetone(아세톤)	1.34	0.92
Benzene(벤젠)	1.5	1.05
Carbon Tetrachloride(사염화탄소)	1.91	1.32
Ethyl Alcohol(에틸 알콜)	1.54	1.06
Gasoline(가솔린)	1.9	1.3
Glycerin(글리세린)	6.31	4.35
ISO 32 Mineral Oil(ISO32광유)	2.6	1.8
Kerosene(등유)	1.9	1.3
Mercury(수은)	41.4	28.5
Paraffin Oil(파라핀 오일)	2.41	1.66
Petrol(휘발유)	1.55~2.16	1.07~1.49
Phosphate Ester(인산염 에스테르)	4.4	3
SAE 30 Oil(SAE30오일)	2.2	1.5
Seawater(바닷물)	3.39	2.34
Sulfuric Acid(황산)	4.3	3.0
Water(물)	3.12	2.15
Water – Glycol(물-글리콜)	5	3.4
Water – Oil Emulsion(물-오일에멀젼)	3.3	2.3

K 값은 시료의 상태에 따라 달라지며 경우에 따라 온도에 따라 달라집니다. 액체에서 용해된 기체의 양은 값에 큰 영향을 미칩니다.

K 값이 높으면 재료가 압축에 저항함을 나타내고 값이 낮으면 균일한 압력에서 부피가 눈에 띄게 감소함을 나타냅니다. 부피 탄성률의 역수는 압축성이므로 부피 탄성률이 낮은 물질은 압축률이 높습니다.

표를 검토하면 액체 금속 수은이 거의 압축할 수 없음을 알 수 있습니다. 이것은 유기 화합물의 원자에 비해 수은 원자의 큰 원자 반경과 원자의 패킹을 반영합니다. 수소 결합 때문에 물은 압축에도 저항합니다.

 

벌크 모듈러스 공식

재료의 벌크 모듈러스는 분말 또는 미정질 샘플을 대상으로 하는 x-선, 중성자 또는 전자를 사용하여 분말 회절에 의해 측정할 수 있습니다. 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

벌크 모듈러스(K) = 체적 응력 / 체적 변형

이것은 압력 변화를 부피 변화로 나눈 값을 초기 부피로 나눈 값과 같다고 말하는 것과 같습니다.

벌크 모듈러스(K) = (p1 – p0) / [(V1 – V0) / V0]

여기서 p0와 V0는 각각 초기 압력과 부피이고, p1과 V1은 압축시 측정된 압력과 부피이다.

벌크 탄성률은 압력과 밀도로 표현될 수도 있습니다.

K = (p1 – p0) / [(ρ1 – ρ0) / ρ0]

여기서 ρ0, ρ1은 초기 및 최종 밀도 값입니다.

 

예제 계산

부피 계수는 액체의 정수압과 밀도를 계산하는 데 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 바다의 가장 깊은 지점인 마리아나 해구에 있는 바닷물을 생각해 보십시오. 참호의 바닥은 해수면 아래 10994m입니다.

마리아나 해구의 정수압은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

p1 = ρ*g*h

여기서 p1은 압력, ρ는 해수면에서의 해수 밀도, g는 중력 가속도, h는 수주의 높이(또는 깊이)입니다.

p1 = (1022kg/m3)(9.81m/s2)(10994m)
p1 = 110 x 106Pa 또는 110MPa
해수면에서의 압력이 105 Pa임을 알면 해구 바닥의 물 밀도는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

ρ1 = [(p1 – p)ρ + K*ρ) / K
ρ1 = [[(110 x 106Pa) – (1 x 105Pa)](1022kg/m3)] + (2.34 x 109Pa)(1022kg/m3)/(2.34 x 109Pa)
ρ1 = 1070kg/m3

이것에서 무엇을 알 수 있을까요? 마리아나 해구 바닥의 엄청난 압력에도 불구하고 그다지 압축되지 않았다는 것을 알 수 있습니다.