원뿔 단면이란?- 정의, 개요 및 유형

원뿔 단면이란?

수학에서 원뿔형 단면(또는 간단히 원추형)은 원뿔 표면과 평면의 교차점으로 얻은 곡선입니다.

원뿔 단면의 세 가지 유형은 쌍곡선, 포물선 및 타원입니다. 원은 타원의 특수한 경우이지만 역사적으로 때때로 네 번째 유형이라고 불렸습니다.

고대 그리스 수학자들은 원뿔 단면을 연구했으며, 기원전 200년경 페르가의 아폴로니우스가 그 속성에 대한 체계적인 연구를 통해 절정에 달했습니다.

유클리드 평면의 원뿔형 단면은 다양한 구별되는 속성을 가지며 그 중 많은 부분을 대체 정의로 사용할 수 있습니다. 이러한 속성 중 하나는 비원형 원뿔을 초점이라고 하는 특정 점과 방향이라고 하는 특정 선까지의 거리가 이심률이라고 하는 고정 비율에 있는 점의 집합으로 정의합니다.

원뿔형의 유형은 편심 값에 의해 결정됩니다. 해석 기하학에서 원뿔은 차수가 2인 평면 대수 곡선으로 정의될 수 있습니다. 즉, 좌표가 두 변수의 2차 방정식을 만족하는 점의 집합으로 행렬 형식으로 작성될 수 있습니다.

이 방정식을 사용하면 원뿔 단면의 기하학적 속성을 대수적으로 추론하고 표현할 수 있습니다. 유클리드 평면에서 세 가지 유형의 원뿔 단면은 매우 다르게 보이지만 많은 속성을 공유합니다.

무한대의 선을 포함하도록 유클리드 평면을 확장하고 투영 평면을 얻으면 명백한 차이가 사라집니다. 쌍곡선의 분기는 무한대의 두 점에서 만나 단일 폐쇄 곡선을 만듭니다. 그리고 포물선의 두 끝이 만나 무한대에서 선에 접하는 닫힌 곡선을 만듭니다.

실제 좌표를 확장하여 복잡한 좌표를 허용하는 추가 확장은 이러한 통합을 대수적으로 볼 수 있는 수단을 제공합니다.

 

 

주요 요점

▷ 타원은 고정점 F로부터의 거리에 대한 고정선으로부터의 거리의 비가 일정하고 항상 1보다 작도록 이동하는 점 P의 궤적입니다.
▷ 포물선은 고정점 F에서 고정선까지의 거리 비율이 일정하고 항상 1이 되도록 이동하는 점 Q의 궤적입니다.
▷ 쌍곡선은 고정점 F로부터의 거리에 대한 고정선으로부터의 거리의 비가 일정하고 항상 1보다 크도록 움직이는 점 R의 궤적입니다.

 

정의

원뿔형은 절단면이라고 하는 평면과 이중 원뿔형(두 개의 기저귀가 있는 원뿔형)의 표면이 교차하여 얻은 곡선입니다. 일반적으로 원뿔은 설명을 쉽게 하기 위해 직각 원뿔이라고 가정하지만 반드시 필요한 것은 아닙니다. 원형 단면이 있는 이중 원뿔이면 충분합니다.

원뿔의 꼭짓점을 통과하는 평면은 한 점, 선 또는 한 쌍의 교차 선에서 원뿔과 교차합니다. 이를 퇴화 원뿔형이라고 하며 일부 저자는 원뿔형을 전혀 고려하지 않습니다. 달리 명시되지 않는 한 이 문서에서 "원추형"은 비축퇴 원추형을 나타냅니다.

원뿔형에는 타원, 포물선 및 쌍곡선의 세 가지 유형이 있습니다. 역사적으로 Apollonius는 네 번째 유형으로 간주되지만 원은 특별한 종류의 타원입니다. 타원은 원뿔과 평면의 교차점이 닫힌 곡선일 때 발생합니다.

절단면이 원뿔 생성 원의 평면과 평행할 때 원을 얻습니다. 오른쪽 원뿔의 경우 절단면이 축에 수직임을 의미합니다. 절단면이 원뿔의 생성 선과 정확히 평행하면 원뿔은 무한대이며 포물선이라고 합니다.

나머지 경우 그림은 쌍곡선입니다. 평면이 원뿔의 양쪽 절반과 교차하여 두 개의 별도의 무한한 곡선을 생성합니다.

 

방정식, 편심, Latus Rectum, 초점 매개변수

원뿔형 단면은 천문학에서 중요합니다. 뉴턴의 만유인력 법칙에 따라 상호 작용하는 두 개의 거대한 물체의 궤도는 공통 질량 중심이 정지해 있는 것으로 간주되는 경우 원추형 단면입니다. 함께 묶인 경우 둘 다 타원을 추적합니다. 서로 멀어지면 포물선이나 쌍곡선을 따릅니다.

원뿔형 단면의 반사 특성은 탐조등, 전파 망원경 및 일부 광학 망원경의 설계에 사용됩니다. 탐조등은 초점에 전구가 있는 반사경으로 포물선 거울을 사용합니다. 포물선 마이크에도 유사한 구조가 사용됩니다.

카나리아 제도의 라 팔마(La Palma)에 있는 4.2미터 Herschel 광학 망원경은 1차 포물선 거울을 사용하여 빛을 2차 쌍곡면 거울 쪽으로 반사하고, 이 거울은 첫 번째 거울 뒤에 있는 초점으로 다시 반사합니다.